Gespräche in der Dämmerung 00045
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Prefacio (Prólogo) [Vorrede]
[El conocimiento matemático]
Tabla de contenidos
Gespräche in Jena
[45] Die Evidenz dieses mangelhaften Erkennens, auf welche die Mathematik stolz ist und womit sie sich auch gegen die Philosophie brüstet, beruht allein auf der Armut ihres Zwecks und der Mangelhaftigkeit ihres Stoffs und ist darum von einer Art, die die Philosophie verschmähen muß. – Ihr Zweck oder Begriff ist die Größe. Dies ist gerade das unwesentliche, begrifflose Verhältnis. Die Bewegung des Wissens geht darum auf der Oberfläche vor, berührt nicht die Sache selbst, nicht das Wesen oder den Begriff und ist deswegen kein Begreifen. – Der Stoff, über den die Mathematik den erfreulichen Schatz von Wahrheiten gewährt, ist der Raum und das Eins. Der Raum ist das Dasein, worein der Begriff seine Unterschiede einschreibt als in ein leeres, totes Element, worin sie ebenso unbewegt und leblos sind. Das Wirkliche ist nicht ein Räumliches, wie es in der Mathematik betrachtet wird; mit solcher Unwirklichkeit, als die Dinge der Mathematik sind, gibt sich weder das konkrete sinnliche Anschauen noch die Philosophie ab. In solchem unwirklichen Elemente gibt es denn auch nur unwirkliches Wahres, d.h. fixierte, tote Sätze; bei jedem derselben kann aufgehört werden; der folgende fängt für sich von neuem an, ohne daß der erste sich selbst zum ändern fortbewegte und ohne daß auf diese Weise ein notwendiger Zusammenhang durch die Natur der Sache selbst entstünde. – Auch läuft um jenes Prinzips und Elements willen – und hierin besteht das Formelle der mathematischen Evidenz – das [44] Wissen an der Linie der Gleichheit fort. Denn das Tote, weil es sich nicht selbst bewegt, kommt nicht zu Unterschieden des Wesens, nicht zur wesentlichen Entgegensetzung oder Ungleichheit, daher nicht zum Übergange des Entgegengesetzten in das Entgegengesetzte, nicht zur qualitativen, immanenten, nicht zur Selbstbewegung. Denn es ist die Größe, der unwesentliche Unterschied, den die Mathematik allein betrachtet. Daß es der Begriff ist, der den Raum in seine Dimensionen entzweit und die Verbindungen derselben und in denselben bestimmt, davon abstrahiert sie; sie betrachtet z.B. nicht das Verhältnis der Linie zur Fläche; und wo sie den Durchmesser des Kreises mit der Peripherie vergleicht, stößt sie auf die Inkommensurabilität derselben, d.h. ein Verhältnis des Begriffs, ein Unendliches, das ihrer Bestimmung entflieht.
Conversaciones en Valencia
[45] La evidencia de este conocimiento deficiente, de la que la matemática está tan orgullosa y de la que incluso se pavonea contra la filosofía, descansa solamente en la pobreza de su fin y en la deficiencia de su propia materia, y es, por tanto, un conocimiento de un tipo que la filosofía debe más bien desdeñar. — Pues el telos de ese conocimiento y el concepto de ese conocimiento es la cantidad [o la magnitud, die Grösse]. Y ello no es sino precisamente la relación inesencial, la relación carente de concepto. El movimiento del saber se produce, por tanto, en la superficie y no toca a la cosa misma, es decir, no toca la esencia o el concepto, y por eso no constituye comprensión ninguna [en el sentido de no traer nada a concepto]. — La materia acerca de la que la matemática tiene a punto un muy notable tesoro de verdades, al que se puede acceder, es el espacio y el Uno. El espacio es la existencia, es el estar ahí, en el que el concepto inscribe sus diferencias como en un elemento vacío, como en un elemento muerto, en el que esas diferencias se vuelven asimismo estáticas y carentes de vida. Lo real no es nada espacial en el sentido en que se considera lo espacial en la matemática; de una irrealidad tal como la que tienen las cosas de la matemática no se ocupan ni la intuición sensible concreta ni tampoco la filosofía. Y en tal elemento irreal tampoco puede haber entonces sino verdades irreales, proposiciones consideradas fijas, muertas; en cada una de ellas puede cesarse; la siguiente empieza de nuevo de por sí, sin que la primera se moviese ella misma hasta trocarse en la segunda y sin que de esta forma surja por la naturaleza misma de la cosa un contexto necesario [una relación necesaria entre todas ellas]. — Resulta, además, que a causa de ese principio [el Uno] y de ese elemento [el espacio] —y en esto consiste lo formal de la evidencia matemática— el saber se mueve en la línea de la igualdad. Pues lo muerto, porque lo muerto no se mueve a sí mismo, no llega a diferencias de la esencia [Wesen] [es decir, no llega a diferenciarse en la esencia, no se es él mismo su ser-otro], no llega a una contraposición esencial o a una desigualdad esencial y, por tanto, no llega a tránsitos de lo contrapuesto a lo contrapuesto, no llega a un movimiento cualitativo, inmanente, es decir, a un automovimiento. Pues lo único que la matemática considera es la cantidad, es decir, la diferencia inesencial X63X.1Vide infra Algunas aclaraciones X63X. Que es el concepto quien disocia el espacio en sus dimensiones y quien determina las conexiones entre ellas y quien las determina a ellas en sí mismas, de esto abstrae la matemática; la matemática no considera, por ejemplo, la relación de la línea con la superficie; y cuando compara el diámetro del círculo con su periferia [es decir, el diámetro del circulo con la circunferencia] se topa con la inconmensurabilidad de ellos [es decir, con el número π], es decir, con una relación de concepto, [es decir,] con algo infinito que escapa a su determinación [a la determinación que la matemática puede hacer].
Algunas aclaraciones
X63X = Lo que aquí está diciendo Hegel y va a decir en las lineas que siguen, no es fácil de entender, pues nos es completamente extraño. Es más o menos lo siguiente: es evidente que a un matemático no le interesa lo que, por ejemplo, Platón dice en el Parménides sobre el Uno, ni, por tanto, llega a entender que el tiempo (la intuición pura del tiempo con la que el matemático, sin embargo, opera sin saberlo) es un quedar ahí delante el concepto como concepto, y, sin ello, el matemático no puede entender qué sea el espacio, por más que el geómetra lo tenga como supuesto y materia; tan no llega a saber qué es el espacio, que ni siquiera sabe que el concepto de espacio hay que obtenerlo del propio movimiento interno del concepto de tiempo. Pero se diría que el matemático paraliza el movimiento interno de esos conceptos, y se limita a buscar relaciones externas entre las abstracciones resultantes de tal paralización. Y cuando el matemático se convierte en físico matemático, resulta que las relaciones que establece entre espacio, tiempo y objetos se limita a tomarlas de experiencias sueltas y específicas, sin intentar siquiera reasumir sistemáticamente los fenómenos en los conceptos a partir del movimiento interno de esos conceptos. Incluso cuando el físico matemático (como ocurre en la Teoría de la Relatividad de Albert Einstein) se topa con que el tiempo y el espacio no son cosas distintas que guarden entre sí una relación externa, sino que forman un continuo, se topa con ello a título de hipótesis basada en datos experimentales que muy bien hubieran podido ser quizá de otro modo. Es decir, para el científico matemático ello no es algo que necesariamente se siga del propio movimiento interno de los conceptos. Por tanto, aunque el saber matemático tenga su finalidad y también su utilidad específica y aunque quizá también el saber físico-matemático tenga su finalidad y su utilidad especifica, es necesario otro saber, un saber que nos muestre lo que hay, en la interna necesidad del movimiento del concepto objetivo de eso que hay, en la interna necesidad del movimiento de la esencia de eso que hay, pues la existencia de lo que hay no es ajena a la necesidad del movimiento de su propio concepto objetivo. Y Hegel supone que ese conocimiento tiene que acabar reasumiendo y dando forma de genuino conocimiento a los conocimientos de la matemática y de la física matemática, las cuales por su propio diseño se cierran ellas mismas el camino a ello. Así pues, tanto la matemática como la física matemática son para Hegel formas deficientes de conocimiento, en comparación con la episteme que la filosofía aspira a ser, en la cual (por vía de rememorar el tipo de experiencia que representan la matemática o la física) lo que es (lo que hay) es mostrado en su concepto, quedando por tanto el fenómeno reasumido en la necesidad del movimiento de ese su concepto, de ese su pensamiento, de ese su noumenon, de la cosa en sí, de la esencia. Por disparatada que esta pretensión de conocimiento pueda ser, no cabe duda de que ha de contener una discusión muy a fondo de «el fundamento de la distinción de todos los objetos en general en fenómenos y noumenos», de «la anfibología de los conceptos de la reflexión» y de la cuestión del no-ser a la que va ligada la cuestión de la relación entre apariencia, fenómeno y esencia. Y es de nuevo en el cap. III del presente libro donde se contiene una discusión a fondo de estos temas del final de la «Analítica trascendental» de la Crítica de la razón pura de Kant.
Conversaciones en Madrid
[45] La evidencia de este conocer deficiente, de la que tanto se enorgullece la matemática, y con la que se pavonea frente a la filosofía, se basa únicamente en la pobreza del fin que se propone y en la deficiencia de su materia, y es, por ello, de una especie que la filosofía tiene que desdeñar. — El fin que se propone, o su concepto, es la magnitud. Ésta es precisamente la relación inesencial, sin concepto. Por eso, el movimiento del saber procede por la superficie, sin tocar la cosa misma, la esencia o el concepto, y no es, por tanto, ningún concebir, comprender con conceptos. — La materia acerca de la cual la matemática regala ese gozoso tesoro de verdades es el espacio y el uno. El espacio es la existencia en la que el concepto inscribe sus diferencias como un elemento vacío, muerto, en el que ellas están igualmente sin movimiento ni vida. Lo efectivamente real no es algo espacial tal como se lo considera en la matemática; con una irrealidad tal como la de las cosas de la matemática no tienen trato ni la intuición concreta sensible ni la filosofía. Pues en tales elementos irreales no hay tampoco más que algo verdadero que no es efectivamente real, esto es, proposiciones fijadas y muertas; uno puede pararse en cada una de ellas; la siguiente empieza de nuevo para sí, sin que la primera se haya movido por sí misma hacia la otra y sin que de este modo surgiera una conexión necesaria por la naturaleza de la cosa misma. Además, en virtud de ese principio y elemento —y en esto consiste lo formal de la evidencia matemática— el saber discurre por la línea de la igualdad. Pues lo que está muerto porque no se mueve a sí mismo no llega hasta el diferenciar de la esencia, hasta la contraposición o la desigualdad esenciales, no llega, por tanto, al paso de lo contrapuesto a lo contrapuesto, no llega al movimiento cualitativo e inmanente, no llega al automovimiento. Pues lo único que las matemáticas consideran es la magnitud, la diferencia inesencial. Que el concepto sea lo que escinde el espacio en sus dimensiones y determina las conexiones entre éstas y dentro de éste, de eso ellas hacen abstracción; no consideran, por ejemplo, la relación de la línea con la superficie; y cuando miden la proporción del diámetro y el perímetro de la circunferencia, se tropiezan con su inconmensurabilidad: es decir, con una relación del concepto, con un infinito que escapa a la determinación que ellas hacen.
Conversations in Washington
[45] [45]2We kept the numeration given by the editor in the printed edition The convincingness3Evidenz of this defective cognition is something of which mathematics is proud and which it brags about to philosophy, but it rests solely on the poverty of its purpose and the defectiveness of its material, and it is for that reason the kind of thing that philosophy must spurn. – Its purpose, or its concept, is magnitude. It is precisely this relationship which is non-essential and devoid of the concept. For that reason, the movement of knowing in mathematics takes place only on the surface; it does not touch on the thing that really matters, does not touch on the essence, or the concept, and hence it does not constitute any kind of comprehension of what is at stake. – The material that provides mathematics with this gratifying wealth of truths consists of space and numerical units. Space is the existence in which the concept inscribes its differences as it would in an empty, dead element in which the differences themselves are just as unmoved and lifeless. The actual is not something spatial as it is taken to be in mathematics; neither concrete sensuous intuition nor philosophy wastes any time with the kinds of non-actualities which are the things of mathematics. In such non-actual elements, there are then only non-actual truths, which is to say, fixed, dead propositions; one can call a halt to any of them, but the next begins anew on its own account without the first itself having moved on to another and without any necessary connection arising out of the nature of the thing at issue. – It is also on account of that principle and element – and what is formal in mathematical convincingness consists in this – that knowing advances along the line of equality. Precisely because it does not move itself, what is lifeless does not make it all the way to the differences of essence, nor to essential opposition, or to inequality, nor to the transition of one opposition into its opposite, nor to qualitative, immanent self-movement. For it is magnitude alone, the inessential difference, that mathematics deals with. It is the concept that divides4entzweit space into its dimensions and determines the combinations of space’s dimensions and combinations within space’s dimensions; mathematics abstracts from that. Mathematics does not consider, for example, the relation of line to surface, and when it compares the diameter of a circle with its circumference, it runs up against their incommensurability, which is to say, a ratio lying in the concept, or an infinite, which itself eludes mathematical determination.
Conversaciones en el Atrium
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